藝術＿黃金比例的圖畫，白銀比例的紙張

很多人都見過這上圖，這是達文西畫的維特魯威人。
他是根據古羅馬建築師維特魯威(Vitruvius)所留下的比例學說(註１)所繪，
聽說這是人體最完美的比例。隨便舉其中一條件：
頭部應為身高的八分之一(俗稱的八頭身)，陰部應該位於身高的一半之處。
幹嘛探詢這個呢？

我想是古時人們相信，

世界必定存在所有人皆愛的"黃金比例"，而且號稱在久遠久遠已經找到。

究竟誰發現的，目前不可考，有一派人說是畢達哥拉斯。(註２)

黃金比例的公式為 a:b = (a+b):a　a/b就是我們要求的值

a/b = (a+b)/a →設 a/b= x

x= 1+ 1/x →同乘x →x^2 - x - 1 = 0 求x　利用公式 x = (-b +-√( b^2-4ac)) / 2a取正值

x= (1+√5)/2

最終會得到1：1.618(近似值)

別問我當初是怎麼導出來的(想出來的)，我想像不到阿~~

維基條目：黃金比例(註２)裡說：

黃金分割奇妙之處，在於其倒數為自身減1，

即：1.618...的倒數為0.618... = 1.618... - 1，並時常被稱為「黃金比例共軛」

這我在上面的算式　x = 1+ 1/x，就已經表現出來了。 

另有人說，黃金比例來自費氏函數(註３)，
我相信學過編輯程式者，對這個肯定不陌生。
遞迴作業，不是出河内塔，就是出費氏函數：F(n) = F(n-1)+f(n-2)數列
簡單說，系數就由之前的兩數相加。
數列為：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
舉幾例， 5 = 3+2；8=5+3；13= 8+5; 21=13+8....

那它與黃金比例的關係呢？
相鄰兩個數字(大除小)相除，故1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 會越來越接近 1.618
普遍而言，黃金比例由於美觀，多用於建築物或藝術品等。


*****
我們常見的(比例)，除了黃金比例，另有白銀比例。
 a:b = (2a+b):a　它的差別是 黃金是 (a+b):a　它是 (2a+b):a
計算與黃金比例類似，得出 1+√2，約為2.4142(近似值)

如黃金比例有費氏函數，白銀比例也有佩爾數(數列，註４)。
它的數列公式是F(n) = 2F(n-1)+f(n-2)
亦即，系數為之前第一數數乘２，加上之前第二個數。
數列為：0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378……
舉幾例，2=1*2+0；5=2*2+1；12=5*2+2；29=12*2+5.....
相鄰兩個數字(大除小)相除，就是白銀比例。
即2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29....


通常我們會說A、Ｂ、Ｃ系列的紙張為白銀比例(註５)的白銀長方形。
Ａ系列紙張有A0、A1、A2、A3、A4....
沒錯，這個Ａ４就是辦公司見到的那款Ａ４紙。
然而，依據ISO216，Ａ系列紙真的不是白銀比例(1+√2)，

只是我們稱呼習慣的緣故，也就通用了。

ISO216定義Ａ系列紙(註６)為：
每一次矩形最長邊的對折(不是對角線)，後來圖形的長寬比要跟原圖形的一樣。

例如 a是長，b是寬，則a:b = b:(1/2)a
→a:b = 2b:a　求 a/b的值
將a/b設為x → x = 2/x →x^2 = 2取正值
→x= √2　約為1.4142(近似值)

因此Ａ系列紙比例為√2，而白銀比例是 1+√2，兩者相差１。
或許也能說Ａ系列紙與佩爾數(減1)有關吧。


又，ISO216定義Ａ０紙的面積為1平方米，
推導一下，可得寬跟長則為841mm×1189mm。
Ａ１是Ａ０的對折，面積為Ａ０的1/2，長和寬就...自己算吧。總之，以此類推。

那常用的Ｂ系列紙呢？
長寬比例也是跟Ａ系列一樣，√2。
其面積編號相同與編號前一號的A系列紙張的幾何平均。
例如，B1是A1和A0的幾何平均。

透由這點，就可以知道面積及長度和寬度了。　
　
　
---------
註１：
(1)圖片出處：維基百科：維特魯威人
(2)視學素養學習網：達文西

註２：維基百科：黃金比例

註３：費波那契數列

註４：佩爾數

註５：維基條目：白銀比例：紙張大小及白銀長方形

註６：圖形出處：維基條目：ISO_216