國小做過一類數學題，給一個很大的數字，問是不是Ｎ的倍數？
Ｎ通常為２、３．．．到１１的正整數。
舉個例子，請問１２４５０２４３１５４２６是不是２的倍數？
答案，是。因為個位數為偶數。
維基(註１)有教怎麼樣判斷較快，但是我覺得講解正確卻有點複雜，
我挑幾個數字，嘗試寫出較容易懂的解題說明。
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Ｎ＝２時，
解法：判斷個位數字是不是偶數（能被２整除）。
因為１０＝５Ｘ２，所以，十位數以上的數字，可以改寫＝某數Ｘ１０，再加上個位數。
例如：
１２４５０２４３１５４２６＝１２４５０２４３１５４２Ｘ１０＋６。
前者被２除，不會產生餘數，故能省略，看個位數即可。
Ｎ＝４時，Ｎ＝８時的判斷類似於此，１００＝４Ｘ２５，１０００＝８Ｘ１２５。
所以，Ｎ＝４時，看十位數跟個位數。
同一個例子：
１２４５０２４３１５４２６＝１２４５０２４３１５４Ｘ１００＋２６。
前者被４除，不會產生餘數，故能省略。而２６被４除餘２，因此，不能被整除。
再快一點點的方式是，
看到十位數跟個位數大於８０，就減掉８０再除，比如９１，就改成１１（＋８０）再除。
介於８０－４０之間，則減掉４０去除，比如６２，就改成２２（＋４０）再除。
４０以下，則直接除。
大家都有背過九九乘法表，減掉之後，一眼就能瞧出是不是能整除。
Ｎ＝８時，看百位數、十位數和個位數。
同個例子：
１２４５０２４３１５４２６＝１２４５０２４３１５Ｘ１０００＋４２６。
前者被８除，不會產生餘數，故能省略，看４２６能否被８整除...
這裡就直接計算，沒必要找捷徑。
若要硬說，先看能被４整除才計算(不能被４整除，那一定不能被８整除)。
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Ｎ＝３
國小真的有特別教，而且必考。把所有數字加起來除以３，即知。
同個例子：１２４５０２４３１５４２６，
變成１＋２＋４＋５＋０＋２＋４＋３＋１＋５＋４＋２＋６＝３９，可被３整除。
理由是除了個位數外，任何位數都可以改寫為３的倍數（９、９９、９９９、...)加１
１０＝９＋１；１００＝９９＋１；１０００＝９９９＋１...
那麼，舉例來說，
２０可改成２Ｘ（９＋１）＝２Ｘ９＋２；
３００可改成３Ｘ（９９＋１）＝３Ｘ９９＋３。
而若要求餘數（沒餘數，即可以整除），以上兩例，只要看２跟３。
同理，
１２４５０２４３１５４２６＝
１Ｘ（９９９９９９９９９９９９＋１）＋２Ｘ（９９９９９９９９９９９＋１）...＋６
僅要把所有數字加起來，除以３，就知道能不能整除了。
Ｎ＝９時，跟Ｎ＝３一樣，因為９、９９、９９９....，同時是９的倍數。
所有數字加起來，除以９來判斷。
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Ｎ＝５，方法與Ｎ＝２一樣，看個位數。
因為１０＝５Ｘ２，所以，十位數以上的數字，可以改寫＝某數Ｘ１０，再加上個位數...
通常看個位數是否為５或０，那是５的倍數。
Ｎ＝１０，方法亦同，個位數為０就是１０的倍數。
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Ｎ＝６
先看能不能被２整除（因為快，所以先看），再看能不能被３整除。
參考前面Ｎ＝２、Ｎ＝３，不重講了。
Ｎ＝７
有點複雜，我沒見有考過。略。
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Ｎ＝１１，國小教的解法：
從低位到高位交錯加減，其結果取絕對值，被１１除，看能否整除。
（唯獨用在斷定能否整除，算出來的值，不保證是真正餘數）
應用在同個例子：１２４５０２４３１５４２６，就變成（數字倒過來）
６－２＋４－５＋１－３＋４－２＋０－５＋４－２＋１＝１，不能被１１整除。
從Ｎ＝３的經驗去反推，應該會像這樣的模式
十位數，１０＝１１ＸＡ－１ （看得出來Ａ＝１）
百位數，１００＝１１ＸＢ＋１（看得出來Ｂ＝９９）
千位數，１０００＝１１ＸＣ－１（Ｃ是９１就很難立即看出。可由最接近的９９０去推測）
越高位，越難直觀看出。
事實上，把１０看成（１１－１）就解套了。
十位數，１０＝（１１－１）
百位數，１００＝（１１－１）^２
千位數，１０００＝（１１－１）^３
....
根據二項式定理和巴斯卡三角形(註２)，
(A+B)^2 ＝A^2+2AxB+ B^2
(A+B)^3 ＝A^3+3A^2 x B+3AxB^2+B^3
(A+B)^4 ＝A^4+4A^3 x B+6A^2xB^2+4AxB^3+B^4
.....
每一個次方的計算，只有最後一項(B^2、B^3、B^4....）不是Ａ的倍數，
判別能否整除，就省略Ａ的倍數，僅看最後一個數。
返回看（１１－１）
十位數，等於看：（－１）
百位數，等於看（－１）^２＝１
千位數，等於看（－１）^３＝－１
...以此類推，得證。
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○圖片來源
註１：維基：整除規則
註２：
1. 維基：二項式定理
2. 維基：巴斯卡三角形
１ １ １
１ ２ １
１ ３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ 10 10 ５ １
１ ６ 15 20 15 ６ １
１ ７ 21 35 35 21 ７ １
１ ８ 28 56 70 56 28 ８ １
