2021年11月28日 星期日

數學_快速看出能不能被N整除


國小做過一類數學題,給一個很大的數字,問是不是N的倍數?
N通常為2、3...到11的正整數。

舉個例子,請問1245024315426是不是2的倍數?
答案,是。因為個位數為偶數。

維基(註1)有教怎麼樣判斷較快,但是我覺得講解正確卻有點複雜,
我挑幾個數字,嘗試寫出較容易懂的解題說明。


*****
N=2時,
解法:判斷個位數字是不是偶數(能被2整除)。
因為10=5X2,所以,十位數以上的數字,可以改寫=某數X10,再加上個位數。
例如:
1245024315426=124502431542X10+6。
前者被2除,不會產生餘數,故能省略,看個位數即可。


N=4時,N=8時的判斷類似於此,100=4X25,1000=8X125。
所以,N=4時,看十位數跟個位數。
同一個例子:
1245024315426=12450243154X100+26。
前者被4除,不會產生餘數,故能省略。而26被4除餘2,因此,不能被整除。
再快一點點的方式是,
看到十位數跟個位數大於80,就減掉80再除,比如91,就改成11(+80)再除。
介於80-40之間,則減掉40去除,比如62,就改成22(+40)再除。
40以下,則直接除。
大家都有背過九九乘法表,減掉之後,一眼就能瞧出是不是能整除。


N=8時,看百位數、十位數和個位數。
同個例子:
1245024315426=1245024315X1000+426。
前者被8除,不會產生餘數,故能省略,看426能否被8整除...
這裡就直接計算,沒必要找捷徑。
若要硬說,先看能被4整除才計算(不能被4整除,那一定不能被8整除)。


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N=3
國小真的有特別教,而且必考。把所有數字加起來除以3,即知。
同個例子:1245024315426,
變成1+2+4+5+0+2+4+3+1+5+4+2+6=39,可被3整除。

理由是除了個位數外,任何位數都可以改寫為3的倍數(9、99、999、...)加1
10=9+1;100=99+1;1000=999+1...
那麼,舉例來說,
20可改成2X(9+1)=2X9+2;
300可改成3X(99+1)=3X99+3。
而若要求餘數(沒餘數,即可以整除),以上兩例,只要看2跟3。
同理,
1245024315426=
1X(999999999999+1)+2X(99999999999+1)...+6
僅要把所有數字加起來,除以3,就知道能不能整除了。

N=9時,跟N=3一樣,因為9、99、999....,同時是9的倍數。
所有數字加起來,除以9來判斷。


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N=5,方法與N=2一樣,看個位數。
因為10=5X2,所以,十位數以上的數字,可以改寫=某數X10,再加上個位數...
通常看個位數是否為5或0,那是5的倍數。

N=10,方法亦同,個位數為0就是10的倍數。


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N=6
先看能不能被2整除(因為快,所以先看),再看能不能被3整除。
參考前面N=2、N=3,不重講了。

N=7
有點複雜,我沒見有考過。略。


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N=11,國小教的解法:
從低位到高位交錯加減,其結果取絕對值,被11除,看能否整除。
(唯獨用在斷定能否整除,算出來的值,不保證是真正餘數)

應用在同個例子:1245024315426,就變成(數字倒過來)
6-2+4-5+1-3+4-2+0-5+4-2+1=1,不能被11整除。

從N=3的經驗去反推,應該會像這樣的模式
十位數,10=11XA-1 (看得出來A=1)
百位數,100=11XB+1(看得出來B=99)
千位數,1000=11XC-1(C是91就很難立即看出。可由最接近的990去推測)
越高位,越難直觀看出。

事實上,把10看成(11-1)就解套了。
十位數,10=(11-1)
百位數,100=(11-1)^2
千位數,1000=(11-1)^3
....

根據二項式定理和巴斯卡三角形(註2),
(A+B)^2 =A^2+2AxB+ B^2
(A+B)^3 =A^3+3A^2 x B+3AxB^2+B^3
(A+B)^4 =A^4+4A^3 x B+6A^2xB^2+4AxB^3+B^4
.....
每一個次方的計算,只有最後一項(B^2、B^3、B^4....)不是A的倍數,
判別能否整除,就省略A的倍數,僅看最後一個數。

返回看(11-1)
十位數,等於看:(-1)
百位數,等於看(-1)^2=1
千位數,等於看(-1)^3=-1
...以此類推,得證。



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註2:

        1
        1 1
       1 2 1
      1 3 3 1 
    1 4 6 4 1
    1 5 10 10 5 1
   1 6 15 20 15 6 1
  1 7 21 35 35 21 7 1
 1 8 28 56 70 56 28 8 1

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