2018年6月18日 星期一

數學_足球的多面體

看到足球會想到什麼?
當然是尤拉公式 F + V - E = 2 (F是面的總數、V是頂點的總數、E是邊的總數)。
計算它是由幾個五角形跟幾個六角形所構成的!哈哈。


先複習一下國中數學:證明尤拉公式,有兩種證明方式。

第一種證明(註1),幾何畫板證明。
第一步:
用觀察法發現任何一種多邊形,比如下圖左一的五邊形。
若不是三角形,增加一對角線,即加一面、一邊,它的 F + V - E值不變。
(跟邊一樣,對角線之間不可以相交)
最後可令每一個面都是三角形。如下圖左二,左三。


第二步
可分兩種方法,
方法1,每次刪除一個三角形,直到最後剩一個三角形;
方法2,去除所有面後,刪樹枝。

先說方法1:每次刪除一個三角形(一面)
(1)取消一面、一邊,而 F + V - E 的值不變;
或(2)取消一面、一頂點、兩邊, 而F + V - E 的值不變;
或(3)遇到單獨三角形,僅一個頂點與其他部分連接,
   則刪掉該三角形,即取消一面、兩頂點、三邊,F + V - E 的值仍不變。
最後剩下一個三角形,可知 F + V - E = 1 + 3 - 3 = 1 → F + V - E = 1。

例如下圖,
i→ii是取消一面、一頂點、兩邊,即(2);
ii→iii是取消一面、一邊,即(1);
iii→iv是取消一面、兩頂點、三邊,即(3)。


方法2(註2):請參考註2的補充。


在講第三步之前,先要知道如何將立體拓譜轉換(註3)
比如下圖,正三角(錐)體,
拓譜轉換,就是將這個少了一個面(A-B-C三角形)的多面體想成一隻襪子,
這個少掉的面就是襪子的開口,我們要把襪子的裡面從開口翻出來,拉平。
而拓譜轉換後,V,E的值不變,F減1,便可當作平面圖形來處理。

又比如下圖正六面體,少掉E-F-G-H這個面的拓譜化,即左圖變右圖。

第三步,參考第一步,
將所有"多邊形"都變成三角形後(增加一對角線,即加一面、一邊)它的 F + V - E值不變。
並將選一個面刪掉,作拓譜轉換。
比如,下圖是正六面體切成數個三角形之後的樣子(AB還有一條直線)。


再選一個面(減少一個面,即13-14-17這個三角形),作拓譜轉換
比如上面的正六面體分數個三角形的拓譜轉換,變為下圖:

第四步,參考第二步的方法一,由外而內刪除三角形。
最後剩下一個三角形, F + V - E = 1 + 3 - 3 = 1 → F + V - E = 1。
因為在第三步時,減了一個面,要加回來,因此,V+F-E = 2得證。



第二種證明(註2):計算多面體各面內角和。
同上,F是面的總數、V是頂點的總數、E是邊的總數。

步驟一:
在原圖中利用各面求內角總和。
N邊形可以被切成N-2個三角形(180度),所以N邊形的內角和=(n-2)·180。

設有F個面,各面的邊數為n1,n2, …,nF,
各面內角總和=(n1-2)·180+(n2-2)·180 +…+(nF -2) ·180

總共有F個2,各面內角總和= (n1+n2+…+nF -2F) ·180
因為每一邊鄰兩個面,這樣計算,邊會被計算兩次,所以,(n1+n2+…+nF)等於E的兩倍。
各面內角總和=(2E - 2F) ·180 = (E - F) ·360 


步驟二:
取消一個X邊形的面,作拓譜轉換。上述已說過,V,E的值不變,F減1。
而最外層一定是X邊形,有X的頂點。如下圖,這是足球的拓譜轉換。
因此,拓譜圖形內有(V - X)的頂點,且度數為360。
(1)拓譜轉換圖形內的頂點內角和 = (V - X)·360 。 
註4


而(2)拓譜轉換圖形的最外層X邊形,其內角和為(X - 2) ·180。
再考慮(3)被取消的X邊形,其內角和,同樣是(X - 2) ·180。
由(1)、(2)、(3),
所以,各面內角總和= (V - X)·360 + (X - 2) ·180 + (X - 2) ·180  
= (V - X)·360 + (X - 2) ·360 = (V - X + X - 2) ·360
(V - 2) ·360
比對步驟一跟步驟二的結果,(E - F) ·360 =各面內角總和=(V - 2) ·360
是故, E - F = V - 2 →  V + F - E = 2 得證。


*****
再來,計算足球由幾個五角形跟幾個六角形所構成的(註5)。
先假設有 m個正 五邊形(黑色),n個正 六邊形(白色)在球面上,黑白相間。

同樣設定,V是頂點的總數、E是邊的總數、F是面的總數。
V=(5m + 6n)/3   (每個頂點,同是三個多邊形的頂點,重複算三次)
E=(5m + 6n)/2   (每個邊,同是兩個多邊形的邊,重複算兩次)
F=(m + n)

滿足尤拉公式:V - E + F = 2
(5m + 6n)/3 - (5m + 6n)/2 + (m + n) = 2
→ 10m + 12n - 15m - 18n + 6m + 6 n = 12
→ m = 12 
五邊形有12個

每一個五邊形鄰5個六邊形,所以有12 · 5個六邊形,
但是因為每一個六邊形會鄰3個五邊形,這樣會被重複算三次。
所以,六邊形應該是(12 ·5) / 3=20個。


*****
1970年首次電視轉播世界足球盃比賽(註6),
由於當時電視是黑白的,轉播單位為了讓觀眾看清楚足球轉動,
發明了電視之星(Telstar),這一種黑白相間32面體的足球。

情況一直到1998年法國主辦世界盃才改變,
足球顏色改以白色為主調,配以藍色圖案和紅色點綴,也就是法國國旗的三種顏色。
名字為:Tricolore,如下圖。

之後的Fevernova(日/韓)、Teamgeist(德國)、
Jabulani(南非)和Brazuca(巴西)四代,也都採鮮艷色彩。
而今年的Telstar 18又回歸原點,再次用上黑白色。



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註2:歐拉幾何公式V+E-F=2如何證明?
§補充:
(1)去掉一條邊,就減少一個面,V+F-E不變。依次去掉所有的面,變為“樹枝形”。
(2)從剩下的樹枝形中,每去掉一個邊,就減少一個頂點V+F-E不變。
 直至只剩下一條邊,兩個點, 2+0-1= 1,所以,V+F-E =1。
 比如上面的變成三個三角形的五邊形,如下圖。

§


註3:主題 D:數學素養與建模


註4:淺談尤拉公式及其應用 (圖片來源)


註5:足球上的白與黑


註6:【世界盃】比賽用的足球 哪個是「電視之星」?哪一個最多劣評? (圖片來源)


參考資料:足球真的是起源於中國嗎?答案是:不

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