2010年6月13日 星期日

札記-數學-機率計算

早上,想一個機率題,花了半小時方知其玄機。



題目是:
有一個猜獎遊戲,
獎項有兩隻山羊跟一輛汽車,分別一一閉藏於三扇門後。
參賽者,只能三擇一打開,見到的東西,即是此次獎品。


假設參賽者已選定第一號門,
這時,知道另兩道門後之物的主持人,亮開第三號門是山羊。
然後主持人問:你想改選第二號門嗎?

請問: 改變主意,對參賽者比較有利嗎 ?
正確答案是肯定的 ,換第二號門,是比較有利的。


以下是我的分析:
第一種情況:參賽者選到山羊,第一道門後是山羊。
(1)一開始,參賽者選中山羊的機率是2/3。
(2)選完,主持人一定(100%)會選山羊的門開啟,不然節目就結束了。
所以這個前提下,第二號門是汽車的機率為1。
綜合起來,第一種情況的機率為 2/3 * 1 = 0.67 

第二種情況:參賽者選到汽車,第一道門後是汽車。
(1)一開始,參賽者選中汽車的機率為1/3。
(2)選完,主持人開第二號或第三號都沒差別了。
雖然說要當作機率分別為1/2,
但我仍把開第三號,問要不要換第二號;
以及開第二號,要不要換第三號,一同考慮(這有點違反題義)。
綜合起來,第二種情況的機率為 1/3 *(1/2+1/2) = 0.33 
總結兩情況, 顯然,第一種情況發生的機率是比較高的。

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