某些植物的葉序、花序與種子排列，常出現與費氏數列相關的螺旋數，
例如向日葵花盤的順、逆時針螺旋、松毬與鳳梨表面的螺旋，
以及部分植物的葉片排列與花瓣數。不過，這並不是所有植物都必須遵守的固定規律。
真正值得注意的，
不是植物先「選了一個費氏數列」再照著長；
而是新器官在莖頂分生組織上依照局部生長規則一個一個形成，
最後自然產生接近黃金角(由黃金比例導出的黃金角)的排列，
而費氏數列是這種排列的數學結果。
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可以分成三步理解。
1. 新葉不是隨便長，而是都會避開前面已經佔據的位置
植物的葉、花瓣等，最初都以很小的「原基」（primordium）出現在莖頂分生組織周圍。
新的原基通常不會緊貼著上一個長，而傾向出現在目前距離既有原基較遠的位置。
現代植物發育學進一步發現，這和植物激素 生長素 auxin 的局部聚集，
以及 PIN 蛋白控制的生長素運輸有關：
某處形成生長素高峰 → 產生新的葉原基
→ 周圍暫時較不容易再形成另一個原基 → 下一個原基在別的位置形成。
2. 一直這樣「找空位」，會逼近黃金角
假設每形成一片新葉，都要繞著莖轉一個固定角度。
如果角度是很簡單的比例，例如：
- 180° → 很快就在兩條線上重疊
- 120° → 很快形成三列
- 90° → 很快形成四列
但是大約：137.5°
也就是所謂的黃金角（golden angle），
有一個特殊性：它非常不容易和前面的葉片重新對齊。
因此，每增加一片葉子，都會落在相對空的位置，繞很多圈之後仍然分布得很均勻。
它來自黃金比例：
$360^\circ \times \left(1-\frac{1}{\varphi}\right) \approx 137.5^\circ$
其中 $\varphi $ 是黃金比例。
3. 費氏數列因此跑出來
黃金比例和費氏數列本來就有非常密切的數學關係：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……
相鄰兩個費氏數越來越大時，它們的比例：
$$\frac{F_{n+1}}{F_n}$$ 會逐漸逼近黃金比例。
所以當植物接近黃金角排列時，
你從外觀上數那些螺旋線——也就是 parastichies（副螺旋）——便常常會得到：
21 / 34
34 / 55
55 / 89
這類相鄰的費氏數。
這就是為什麼向日葵花盤，會看到一組順時針螺旋、一組逆時針螺旋，
而且兩組數目經常是相鄰的費氏數。
而且這不是純理論。1990 年代 Douady 與 Couder 做過很有名的物理模型實驗，
只用「新的點會避開前面的點」這類簡單規則，就能重現費氏螺旋；
後來植物分子生物學又發現 auxin–PIN1 系統，提供了實際植物體內如何形成這種排列的機制。
讀到此，大概會產生幾個問題。
第一題，什麼叫做相鄰兩個費氏數越來越大時，它們的比例：\(\frac{F_{n+1}}{F_n}\)會逐漸逼近黃金比例？
換言之，這在問 費氏數 跟 黃金比例的關係。
簡單說，做一遍就知道了。
若要逼近黃金比例 \(\varphi \approx 1.618\)，用後一項 ÷ 前一項：
就會看到它在 1.618 左右上下擺動，而且越來越接近：
1 → 2 → 1.5 → 1.667 → 1.6 → 1.625 → 1.615 → 1.619 → 1.618……
最後極限就是：$\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.6180339887$
第二題，那葉子是怎麼按照黃金角（golden angle），137.5°生長？
答：
假設第一片在：
\[
X_1=0^\circ
\]
那麼：
\[
X_2=X_1+137.5^\circ=137.5^\circ
\]
\[
X_3=X_2+137.5^\circ=275.0^\circ
\]
\[
X_4=X_3+137.5^\circ=412.5^\circ
\]
但一圈只有 \(360^\circ\)，所以：
\[
X_4=412.5^\circ-360^\circ=52.5^\circ
\]
繼續下去：
|
葉片 |
位置約為 |
|
1 |
0° |
|
2 |
137.5° |
|
3 |
275.0° |
|
4 |
52.5° |
|
5 |
190.0° |
|
6 |
327.5° |
|
7 |
105.0° |
|
8 |
242.6° |
一般公式就是：\[
X_n=X_1+(n-1)\times137.5^\circ
\pmod{360^\circ}
\]
以向日葵花盤的順、逆時針螺旋為例。 假設每一顆新種子都比上一顆轉 137.5°。
看看「隔幾顆」之後，方向會差不多回到原來的位置：
先看隔 8 顆： \( 8\times137.5^\circ \approx 1100^\circ \)
扣掉三圈 \(1080^\circ\)：\( 1100^\circ-1080^\circ\approx20^\circ \)
所以：第 1 顆、第 9 顆、第 17 顆、第 25 顆……
雖然不是完全在同一直線上，但方向只差一點點。
把它們連起來，就形成一條緩慢彎曲的螺旋線。
再看隔 13 顆：\( 13\times137.5^\circ\approx1787.5^\circ \)
扣掉五圈 \(1800^\circ\)： \(1787.5^\circ-1800^\circ\approx-12.5^\circ\)
因此：第 1 顆、第 14 顆、第 27 顆、第 40 顆……
又形成另一組朝相反方向彎曲的螺旋。
而 8、13 正好就是相鄰的費氏數。
為什麼偏偏是 8、13、21、34？
因為黃金角有一個數學特性：最難被簡單分數近似。
但如果你一直找「轉幾次之後最接近整圈」，
最好的近似恰好會陸續出現在：\(5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ldots\)
例如：
|
相隔顆數 |
轉完之後距離重新對齊約差多少 |
|
5 |
32.5° |
|
8 |
20.1° |
|
13 |
12.4° |
|
21 |
7.7° |
|
34 |
4.7° |
|
55 |
2.9° |
越往後，重新「差不多對齊」得越精確。
而這些差一點點的對齊線，因為不是完全直線，就會在花盤上看成螺旋。
所以整件事情其實可以濃縮成一句：每顆種子固定轉約 137.5°；
相隔 8、13、21、34、55……個位置的花／種子，方向會特別接近，
因此容易被我們視覺上連成螺旋。
若每隔 8 個連一次，會形成一組約 8 條的副螺旋；
每隔 13 個連一次，則會形成另一組約 13 條的副螺旋。
這些數目正好常落在費氏數列中。
你如果現在再去看一張向日葵中心的照片，真正要看的不是每一顆種子，
而是把那些斜斜連成線的種子一路追下去，數有幾條這樣的螺旋線。
這時候 8、13、21、34、55…條線 才會真的「跳出來」。
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圖片參考資料:
1. 維基：Fibonacci sequence
2. Scratch & Math: 隱藏在花朶裡的祕密（一）
