看到足球會想到什麼？
當然是尤拉公式 F + V - E = 2 (F是面的總數、V是頂點的總數、E是邊的總數)。
計算它是由幾個五角形跟幾個六角形所構成的！哈哈。
先複習一下國中數學：證明尤拉公式，有兩種證明方式。
第一種證明(註１)，幾何畫板證明。
第一步：
用觀察法發現任何一種多邊形，比如下圖左一的五邊形。
若不是三角形，增加一對角線，即加一面、一邊，它的 F + V - E值不變。
(跟邊一樣，對角線之間不可以相交)
最後可令每一個面都是三角形。如下圖左二，左三。
第二步：
可分兩種方法，
方法１，每次刪除一個三角形，直到最後剩一個三角形；
方法２，去除所有面後，刪樹枝。
先說方法１：每次刪除一個三角形(一面)
(１)取消一面、一邊，而 F + V - E 的值不變；
或(２)取消一面、一頂點、兩邊， 而F + V - E 的值不變；
或(３)遇到單獨三角形，僅一個頂點與其他部分連接，
則刪掉該三角形，即取消一面、兩頂點、三邊，而F + V - E 的值仍不變。
最後剩下一個三角形，可知 F + V - E = 1 + 3 - 3 = 1 → F + V - E = 1。
例如下圖，
i→ii是取消一面、一頂點、兩邊，即(2)；
ii→iii是取消一面、一邊，即(1)；
iii→iv是取消一面、兩頂點、三邊，即(3)。
方法２(註２)：請參考註２的補充。
在講第三步之前，先要知道如何將立體拓譜轉換(註３)。
比如下圖，正三角(錐)體，
拓譜轉換，就是將這個少了一個面(A-B-C三角形)的多面體想成一隻襪子，
這個少掉的面就是襪子的開口，我們要把襪子的裡面從開口翻出來，拉平。
而拓譜轉換後，Ｖ，Ｅ的值不變，Ｆ減１，便可當作平面圖形來處理。
又比如下圖正六面體，少掉E-F-G-H這個面的拓譜化，即左圖變右圖。
第三步，參考第一步，
將所有"多邊形"都變成三角形後(增加一對角線，即加一面、一邊)，它的 F + V - E值不變。
並將選一個面刪掉，作拓譜轉換。
比如，下圖是正六面體切成數個三角形之後的樣子(ＡＢ還有一條直線)。
再選一個面(減少一個面，即13-14-17這個三角形)，作拓譜轉換。
比如上面的正六面體分數個三角形的拓譜轉換，變為下圖：
第四步，參考第二步的方法一，由外而內刪除三角形。
最後剩下一個三角形， F + V - E = 1 + 3 - 3 = 1 → F + V - E = 1。
因為在第三步時，減了一個面，要加回來，因此，V+F-E = 2得證。
第二種證明(註２)：計算多面體各面內角和。
同上，F是面的總數、V是頂點的總數、E是邊的總數。
步驟一：
在原圖中利用各面求內角總和。
N邊形可以被切成N-2個三角形(180度)，所以Ｎ邊形的內角和＝(n-2)·180。
設有F個面，各面的邊數為n1，n2， …，nF，
各面內角總和＝(n1-2)·180+(n2-2)·180 +…+(nF -2) ·180
總共有F個2，各面內角總和＝ (n1+n2+…+nF -2F) ·180
因為每一邊鄰兩個面，這樣計算，邊會被計算兩次，所以，(n1+n2+…+nF)等於E的兩倍。
各面內角總和＝(2E - 2F) ·180 ＝ (E - F) ·360
*****
滿足尤拉公式：V - E + F = 2
(5m + 6n)/3 - (5m + 6n)/2 + (m + n) = 2
→ 10m + 12n - 15m - 18n + 6m + 6 n = 12
→ m = 12
各面內角總和＝(2E - 2F) ·180 ＝ (E - F) ·360
步驟二：
取消一個X邊形的面，作拓譜轉換。上述已說過，V，E的值不變，F減１。
而最外層一定是X邊形，有X的頂點。如下圖，這是足球的拓譜轉換。
因此，拓譜圖形內有(V - X)的頂點，且度數為360。
(１)拓譜轉換圖形內的頂點內角和 ＝ (V - X)·360 。
 |
| 註４ |
而(２)拓譜轉換圖形的最外層Ｘ邊形，其內角和為(X - 2) ·180。
再考慮(３)被取消的X邊形，其內角和，同樣是(X - 2) ·180。
由(１)、(２)、(３)，
所以，各面內角總和＝ (V - X)·360 + (X - 2) ·180 + (X - 2) ·180
＝ (V - X)·360 + (X - 2) ·360 ＝ (V - X + X - 2) ·360
＝ (V - 2) ·360
比對步驟一跟步驟二的結果，(E - F) ·360 ＝各面內角總和＝(V - 2) ·360
是故， E - F = V - 2 → V + F - E = 2 得證。
*****
再來，計算足球由幾個五角形跟幾個六角形所構成的(註５)。
先假設有 m個正 五邊形(黑色)，n個正 六邊形(白色)在球面上，黑白相間。
同樣設定，V是頂點的總數、E是邊的總數、F是面的總數。
V=(5m + 6n)/3 (每個頂點，同是三個多邊形的頂點，重複算三次)
E=(5m + 6n)/2 (每個邊，同是兩個多邊形的邊，重複算兩次)
F=(m + n)
(5m + 6n)/3 - (5m + 6n)/2 + (m + n) = 2
→ 10m + 12n - 15m - 18n + 6m + 6 n = 12
→ m = 12
五邊形有１２個
情況一直到１９９８年法國主辦世界盃才改變，
註２：歐拉幾何公式V+E-F=2如何證明？
§補充：
（1）去掉一條邊，就減少一個面，V+F-E不變。依次去掉所有的面，變為“樹枝形”。
§
註３：主題 D：數學素養與建模
註４：淺談尤拉公式及其應用 (圖片來源)
註５：足球上的白與黑
註６：【世界盃】比賽用的足球 哪個是「電視之星」？哪一個最多劣評？ (圖片來源)
參考資料：足球真的是起源於中國嗎？答案是：不
每一個五邊形鄰５個六邊形，所以有１２ · ５個六邊形，
但是因為每一個六邊形會鄰３個五邊形，這樣會被重複算三次。
所以，六邊形應該是(１２ ·５) / ３＝２０個。
*****
１９７０年首次電視轉播世界足球盃比賽(註６)，
由於當時電視是黑白的，轉播單位為了讓觀眾看清楚足球轉動，
發明了電視之星(Telstar)，這一種黑白相間３２面體的足球。
足球顏色改以白色為主調，配以藍色圖案和紅色點綴，也就是法國國旗的三種顏色。
名字為：Tricolore，如下圖。
之後的Fevernova（日/韓）、Teamgeist（德國）、
Jabulani（南非）和Brazuca（巴西）四代，也都採鮮艷色彩。
而今年的Telstar 18又回歸原點，再次用上黑白色。
Jabulani（南非）和Brazuca（巴西）四代，也都採鮮艷色彩。
而今年的Telstar 18又回歸原點，再次用上黑白色。
-------------------------------------------------------------------
註２：歐拉幾何公式V+E-F=2如何證明？
§補充：
（1）去掉一條邊，就減少一個面，V+F-E不變。依次去掉所有的面，變為“樹枝形”。
（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一個邊，就減少一個頂點，V+F-E不變。
直至只剩下一條邊，兩個點， 2+0-1= 1，所以，V+F-E =1。
比如上面的變成三個三角形的五邊形，如下圖。
§
註３：主題 D：數學素養與建模
註４：淺談尤拉公式及其應用 (圖片來源)
註５：足球上的白與黑
註６：【世界盃】比賽用的足球 哪個是「電視之星」？哪一個最多劣評？ (圖片來源)
參考資料：足球真的是起源於中國嗎？答案是：不
