2016年9月18日 星期日

藝術_黃金比例的圖畫,白銀比例的紙張


很多人都見過這上圖,這是達文西畫的維特魯威人。
他是根據古羅馬建築師維特魯威(Vitruvius)所留下的比例學說(註1)所繪,
聽說這是人體最完美的比例。隨便舉其中一條件:
頭部應為身高的八分之一(俗稱的八頭身),陰部應該位於身高的一半之處。
幹嘛探詢這個呢?
我想是古時人們相信,
世界必定存在所有人皆愛的"黃金比例",而且號稱在久遠久遠已經找到。
究竟誰發現的,目前不可考,有一派人說是畢達哥拉斯。(註2)

黃金比例的公式為 a:b = (a+b):a a/b就是我們要求的值
a/b = (a+b)/a →設 a/b= x
x= 1+ 1/x →同乘x →x^2 - x - 1 = 0 求x 利用公式 x = (-b +-√( b^2-4ac)) / 2a取正值
x= (1+√5)/2
最終會得到1:1.618(近似值)

別問我當初是怎麼導出來的(想出來的),我想像不到阿~~
維基條目:黃金比例(註2)裡說:
黃金分割奇妙之處,在於其倒數為自身減1,
即:1.618...的倒數為0.618... = 1.618... - 1,並時常被稱為「黃金比例共軛」
這我在上面的算式 x = 1+ 1/x,就已經表現出來了。 

另有人說,黃金比例來自費氏函數(註3),
我相信學過編輯程式者,對這個肯定不陌生。
遞迴作業,不是出河内塔,就是出費氏函數:F(n) = F(n-1)+f(n-2)數列
簡單說,系數就由之前的兩數相加。
數列為:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
舉幾例, 5 = 3+2;8=5+3;13= 8+5; 21=13+8....

那它與黃金比例的關係呢?
相鄰兩個數字(大除小)相除,故1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 會越來越接近 1.618
普遍而言,黃金比例由於美觀,多用於建築物或藝術品等。


*****
我們常見的(比例),除了黃金比例,另有白銀比例。
 a:b = (2a+b):a 它的差別是 黃金是 (a+b):a 它是 (2a+b):a
計算與黃金比例類似,得出 1+√2,約為2.4142(近似值)

如黃金比例有費氏函數,白銀比例也有佩爾數(數列,註4)。
它的數列公式是F(n) = 2F(n-1)+f(n-2)
亦即,系數為之前第一數數乘2,加上之前第二個數。
數列為:0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378……
舉幾例,2=1*2+0;5=2*2+1;12=5*2+2;29=12*2+5.....
相鄰兩個數字(大除小)相除,就是白銀比例。
即2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29....


通常我們會說A、B、C系列的紙張為白銀比例(註5)的白銀長方形。
A系列紙張有A0、A1、A2、A3、A4....
沒錯,這個A4就是辦公司見到的那款A4紙。
然而,依據ISO216,A系列紙真的不是白銀比例(1+√2),
只是我們稱呼習慣的緣故,也就通用了

ISO216定義A系列紙(註6)為:
每一次矩形最長邊的對折(不是對角線),後來圖形的長寬比要跟原圖形的一樣



例如 a是長,b是寬,則a:b = b:(1/2)a
a:b = 2b:a 求 a/b的值
將a/b設為x → x = 2/x x^2 = 2取正值
→x= √2 約為1.4142(近似值)

因此A系列紙比例為√2,而白銀比例是 1+√2,兩者相差1。
或許也能說A系列紙與佩爾數(減1)有關吧。


又,ISO216定義A0紙的面積為1平方米,
推導一下,可得寬跟長則為841mm×1189mm。
A1是A0的對折,面積為A0的1/2,長和寬就...自己算吧。總之,以此類推。

那常用的B系列紙呢?
長寬比例也是跟A系列一樣,√2。
其面積編號相同與編號前一號的A系列紙張的幾何平均。
例如,B1是A1和A0的幾何平均。
透由這點,就可以知道面積及長度和寬度了。 
 
 
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註1:
(1)圖片出處:維基百科:維特魯威人
(2)視學素養學習網:達文西

註2:維基百科:黃金比例

註3:費波那契數列

註4:佩爾數

註5:維基條目:白銀比例:紙張大小及白銀長方形

註6:圖形出處:維基條目:ISO_216

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