札記－數學－機率計算

早上，想一個機率題，花了半小時方知其玄機。



題目是：有一個猜獎遊戲，
獎項有兩隻山羊跟一輛汽車，分別一一閉藏於三扇門後。
參賽者，只能三擇一打開，見到的東西，即是此次獎品。


假設參賽者已選定第一號門， 這時，知道另兩道門後之物的主持人，亮開第三號門是山羊。
然後主持人問：你想改選第二號門嗎？

請問： 改變主意，對參賽者比較有利嗎 ？
正確答案是肯定的 ，換第二號門，是比較有利的。


以下是我的分析：第一種情況：參賽者選到山羊，第一道門後是山羊。
(1)一開始，參賽者選中山羊的機率是2/3。
(2)選完，主持人一定（100%)會選山羊的門開啟，不然節目就結束了。
所以這個前提下，第二號門是汽車的機率為1。
綜合起來，第一種情況的機率為　2/3 * 1 = 0.67 

第二種情況：參賽者選到汽車，第一道門後是汽車。
(1)一開始，參賽者選中汽車的機率為1/3。
(2)選完，主持人開第二號或第三號都沒差別了。
雖然說要當作機率分別為1/2，
但我仍把開第三號，問要不要換第二號；
以及開第二號，要不要換第三號，一同考慮（這有點違反題義）。
綜合起來，第二種情況的機率為 1/3 *(1/2＋1/2) = 0.33 
總結兩情況， 顯然，第一種情況發生的機率是比較高的。